Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)

Hasta aquí las incógnitas dependían de una sola variable (\(y(x)\)). Cuando la incógnita depende de dos o más variables — posición y tiempo, o varias coordenadas espaciales — las derivadas son parciales y hablamos de ecuaciones en derivadas parciales (EDP).

Clasificación de las EDP lineales de segundo orden

La EDP lineal de segundo orden más general en dos variables es

\[A\,u_{xx} + B\,u_{xy} + C\,u_{yy} + P\,u_x + Q\,u_y + F\,u = G\]

Su tipo lo decide el discriminante \(B^2 - 4AC\), igual que la ecuación cuadrática:

Discriminante	Tipo	EDP canónica	Ejemplo físico	Datos necesarios
\(B^2 - 4AC < 0\)	Elíptica	Laplace: \(u_{xx} + u_{yy} = 0\)	Temperatura de equilibrio en una placa, potencial eléctrico	Condiciones de contorno en todo el borde
\(B^2 - 4AC = 0\)	Parabólica	Difusión: \(u_t = D\,u_{xx}\)	Calor difundiéndose en una barra, difusión de contaminante	Condición inicial + contorno en \(x\)
\(B^2 - 4AC > 0\)	Hiperbólica	Ondas: \(u_{tt} = c^2 u_{xx}\)	Cuerda vibrante, propagación de ondas	Dos condiciones iniciales (\(u\) y \(u_t\)) + contorno

Comprobación: para Laplace, \(A = C = 1\), \(B = 0\) → \(-4 < 0\); para difusión (\(A = 1\) en \(x\), \(C = 0\) en \(t\)) → \(0\); para ondas (\(A = 1\), \(C = -c^2\)) → \(4c^2 > 0\).

Conexión con lo que ya sabemos

La clasificación no es solo taxonomía, determina la estrategia numérica.

Elípticas ≈ PVF: la información está en los bordes, todas las incógnitas se resuelven a la vez como un sistema global (el MDF de PVF, ahora en malla 2D). Lo vemos en EDP elípticas.
Parabólicas e hiperbólicas ≈ PVI en el tiempo + PVF en el espacio: se discretiza el espacio con diferencias finitas y se marcha en \(t\) con esquemas de Euler o similares. La estabilidad del paso temporal vuelve a ser el tema central (Estabilidad). Lo vemos en Parabólicas.

Discretización y notación

En los capítulos siguientes la idea es siempre la misma, el continuo se reemplaza por una malla de puntos y la EDP por una ecuación algebraica en cada nodo.

Malla uniforme con nodos etiquetados u_{i,j}. Los índices i, j recorren las dos variables independientes con pasos h y k — Malla uniforme con nodos etiquetados \(u_{i,j}\). Los índices \(i\), \(j\) recorren las dos variables independientes con pasos \(h\) y \(k\)

Malla: nodos equiespaciados — \(x_i = i\,h\) en el espacio; la segunda dirección es \(t_j = j\,k\) en las parabólicas y \(y_j = j\,h\) en las elípticas (malla cuadrada).
Incógnitas: \(u_{i,j}\) es el valor calculado por el esquema en el nodo. Escribimos \(u_{i,j} \approx u(x_i, t_j)\) — o \(u(x_i, y_j)\) en elípticas — con \(\approx\), no \(=\), porque difiere de la solución exacta en el error de truncamiento del método.
Stencil: cada ecuación discreta acopla un nodo con unos pocos vecinos; cuáles entran depende de la EDP — la cruz de cinco puntos de Laplace en Elípticas, la terna de la capa temporal anterior en Parabólicas.

Mirando adelante. En un esquema explícito típico para ondas, la condición CFL \(c\,k/h\le1\) exige que una onda no recorra más de una celda espacial durante un paso temporal. No desarrollaremos aquí las EDP hiperbólicas.